# Prüfung vollkommener Zahlen Prüft, ob n eine vollkommene Zahl ist (gleich der Summe seiner echten Teiler, σ(n) = 2n). Faktorisiert n (≤ 10¹²) durch Probedivision, berechnet σ(n) und die echte Teilersumme über die Primzahlpotenzen-Formel, klassifiziert n als defizient/vollkommen/abundant und gibt den Abundanz-Index σ(n)/n an; für vollkommene Zahlen wird die Euklid–Euler-Form 2^(p−1)·(2^p − 1) rekonstruiert und alle sieben geraden vollkommenen Zahlen bis 10¹² aufgelistet. Kann die echten Teiler auflisten, wenn es ≤ 200 sind. > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/perfect-number-checker - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** vollkommene zahl, aliquotsumme, abundante zahl, defiziente zahl, abundanz-index, teiler, mersenne-primzahl, zahlentheorie ## Überblick Dieser Online-Rechner prüft ganzzahlige Werte bis 10¹² auf Vollkommenheit, faktorisiert die Zahl per Probedivision und berechnet die echte Teilersumme sowie die Teilerfunktion σ(n). Neben der mathematischen Klassifikation als vollkommen, defizient oder abundant ermittelt das Tool den exakten Abundanz-Index und stellt bei vollkommenen Zahlen die Euklid–Euler-Darstellung mit der zugehörigen Mersenne-Primzahl dar. ## Eingaben - **Zahl n** (text): 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound). - **Detailgrad** (select) ## Wann verwenden - Wenn eine natürliche Zahl bis 10¹² auf Vollkommenheit und Aliquotsumme untersucht werden soll. - Wenn für mathematische Übungen die Primfaktorzerlegung und die Teilerfunktion σ(n) berechnet werden müssen. - Wenn Zahlen als defizient, vollkommen oder abundant klassifiziert und bei Bedarf deren echte Teiler tabellarisch aufgelistet werden sollen. ## Funktionsweise - Geben Sie eine positive ganze Zahl n bis zur Obergrenze von 10¹² in das Eingabefeld ein. - Wählen Sie den gewünschten Detailgrad: reine Klassifikation und Kennzahlen oder zusätzliche Auflistung aller echten Teiler (bei maximal 200 Teilern). - Das Tool führt eine Primfaktorzerlegung durch, berechnet σ(n) über Primzahlpotenzen und bestimmt die Summe der echten Teiler sowie den Abundanz-Index. - Das Ergebnis liefert die Klassifizierung, bei vollkommenen Zahlen die Euklid–Euler-Formel 2^(p−1)·(2^p − 1) und einen Abgleich mit den bekannten geraden vollkommenen Zahlen bis 10¹². ## Anwendungsfälle - Zahlentheoretische Analysen von Primfaktorzerlegungen und Teilerstrukturen. - Verifikation von Hausaufgaben und Lehrmaterialien im Bereich diskrete Mathematik und Algebra. - Schnelle Klassifizierung von Integer-Werten in Algorithmen und mathematischen Experimenten. ## Häufig gestellte Fragen ### Was definiert eine vollkommene Zahl? Eine Zahl n ist vollkommen, wenn die Summe all ihrer echten Teiler (ohne n selbst) exakt gleich n ist, was der Bedingung σ(n) = 2n entspricht. ### Was bedeuten die Begriffe defizient und abundant? Ist die Summe der echten Teiler kleiner als die Zahl selbst, ist n defizient (σ(n) < 2n). Ist sie größer, ist n abundant (σ(n) > 2n). ### Bis zu welcher Zahlengröße arbeitet das Tool? Das Tool verarbeitet ganze Zahlen im Bereich von 1 bis 10¹² über Probedivision. ### Wann werden die echten Teiler explizit aufgelistet? Die vollständige Liste der echten Teiler wird angezeigt, wenn im Detailgrad die Teiler-Option aktiv ist und die Anzahl der Teiler maximal 200 beträgt. ### Wie viele vollkommene Zahlen gibt es bis 10¹²? Im Bereich bis 10¹² existieren genau sieben gerade vollkommene Zahlen: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056 und 137438691328. ## Ähnliche Tools - [Tutor für Dimensionsanalyse und Einheitenkürzen](https://elysiatools.com/de/tools/dimensional-analysis-unit-cancellation-tutor): Zerlegt Umrechnungen in schrittweises Factor-Label-Kürzen: zeigt Zähler/Nenner-Einheiten, erkennt umgedrehte Faktoren und gibt didaktisches Feedback bei Dimensionsfehlern und falschen Zahlenantworten. - [PERT-Netzwerk-Analysator (Erwartungsdauer/Varianz)](https://elysiatools.com/de/tools/pert-network-analyzer): PERT-Analyse mit Drei-Punkt-Schätzungen für 2–20 Vorgänge (einer pro Zeile: Name, optimistisch a, wahrscheinlichste m, pessimistisch b, Vorgänger): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; das CPM auf den te liefert den kritischen Pfad, die erwartete Projektdauer TE und die Projektvarianz (Summe der σ² auf dem kritischen Pfad); bei Zielzeit T werden Z = (T−TE)/σ und die Fertigstellungswahrscheinlichkeit Φ(Z) per Normalapproximation berechnet. Verletzungen von a≤m≤b und Zyklen werden abgelehnt; deterministische Netze (σ≈0) ohne Division durch null. Klassiker: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7 %. - [Primzahl-Prüfer](https://elysiatools.com/de/tools/prime-number-checker): Überprüft, ob eine Zahl eine Primzahl ist (eine natürliche Zahl größer als 1, die keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst hat) - [M/M/c-Warteschlangenrechner (mehrere Server)](https://elysiatools.com/de/tools/queuing-theory-mmc): Berechnet die Kennzahlen des Multiserver-Warteschlangensystems M/M/c (Poisson-Ankünfte mit Rate λ, c identische exponentielle Server mit Rate μ, eine gemeinsame FCFS-Warteschlange): angebotene Last a = λ/μ, Auslastung pro Server ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, Erlang-C-Wartewahrscheinlichkeit Pw, mittlere Anzahlen Lq und L, mittlere Zeiten W und Wq, kreuzgeprüft mit Littles Gesetz und der Beziehung Pw→Lq. Setzt λ < cμ voraus (sonst Ablehnung als instabil); mit c = 1 reduzieren sich die Formeln auf M/M/1. Klassiker: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Wilson-Theorem-Primzahltest](https://elysiatools.com/de/tools/wilson-theorem-checker): Primzahltest nach dem Wilson-Theorem: (n−1)! ≡ −1 (mod n) genau dann, wenn n prim ist. Der Rest (n−1)! mod n wird Term für Term akkumuliert (n ≤ 10⁷), mit einem deterministischen Miller–Rabin gegengeprüft und für zusammengesetztes n am Faktoriengesetz gemessen (für n > 4 gilt (n−1)! ≡ 0 (mod n), einzige Ausnahme n = 4). Kann die Folge der Zwischenprodukte k! mod n anzeigen (n ≤ 200). - [Primfaktorzerlegung Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/prime-factorization): Zerlegt jede ganze Zahl in ihre Primfaktoren mit detaillierter Analyse. - [Quadratrest-Prüfer (Legendre-/Jacobi-Symbole)](https://elysiatools.com/de/tools/quadratic-residue-checker): Berechnet das Jacobi-Symbol (a/n) (ungerades n bis 10¹⁸; Legendre-Symbol bei primem n): Modulo einer Primzahl bedeutet a^((n−1)/2) ≡ 1 einen Quadratrest, und Tonelli–Shanks (oder die direkte Formel für p ≡ 3 (mod 4)) liefert die Wurzeln ±√a; das Symbol −1 bescheinigt, dass a KEIN Quadratrest ist. Bei zusammengesetztem Modul ist das Symbol nur notwendig: −1 beweist Nicht-Rest, +1 bleibt unbestimmt (bei n ≤ 10⁵ klärt Brute force die Frage). Klassiker: 10 ist Quadratrest mod 13 mit Wurzeln ±6. - [Drehstrom-Kurzschlussstromrechner (IEC 60909)](https://elysiatools.com/de/tools/short-circuit-current-calculator): Schätzt den dreiphasigen symmetrischen Kurzschlussstrom (IEC 60909, fern vom Generator): I"_k = c·U_n/(√3·|Z|), i_p = κ·√2·I"_k. Impedanz = Transformator + Leitung; κ = 1,02 + 0,98·e^(−3R/X). ## Beispiele - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [EU-MwSt-Nummer-Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/eu-vat): Sammlung von MwSt-Nummern aller EU-Mitgliedstaaten für Validierungstests - [Globale Telefonnummern Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/global-phone): Sammlung von Telefonnummern aus verschiedenen Ländern für Validierungstests - [Zahlen- und Währungsmuster](https://elysiatools.com/de/samples/number-currency-samples): Text mit verschiedenen Zahlen- und Währungsformaten zum Testen der Währungsextraktion