# Teilchen im unendlichen Potentialkasten Niveaus eines 1D-unendlichen Potentialkastens, E_n = n²h²/(8mL²): Teilchen Elektron/Proton/Neutron/Alpha oder eigene Masse, Kastenlänge in Einheiten von m bis pm. Ausgegeben werden E_1 (Nullpunktsenergie — das Teilchen kann nie ruhen), das gewünschte Niveau, die de-Broglie-Stehwellenprobe λ_dB = 2L/n, die Photonenwellenlänge des Übergangs n+1 → n und optional die Niveauleiter bis n = 12. Ein Proton im 10-fm-Kernkasten liefert ~2 MeV Nullpunktsenergie — deshalb lebt die Kernphysik im MeV-Bereich. > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/particle-in-a-box - **Kategorie:** Science & Education - **Schlagwörter:** teilchen im kasten, unendlicher potentialkasten, quanteneinsperrung, nullpunktsenergie, energieniveaus, stehende welle, quantenmechanik ## Überblick Der Rechner für das Teilchen im unendlichen 1D-Potentialkasten ermittelt die quantenmechanischen Energieniveaus nach der Formel E_n = n²h²/(8mL²). Basierend auf Standardteilchen oder frei definierbaren Massen sowie Kastenbreiten von Metern bis Pikometern berechnet das Tool die Nullpunktsenergie E_1, die de-Broglie-Wellenlänge stehender Wellen und optische Übergangswellenlängen. ## Eingaben - **Teilchen** (select) - **Eigene Masse (kg)** (number): e.g. 9.109e-31 - **Kastenlänge L** (number): e.g. 1 - **L-Einheit** (select) - **Energieniveau n** (number): e.g. 1 - **Zusätzlich Niveaus bis hierher auflisten (optional, ≤ 12)** (number): e.g. 4 ## Wann verwenden - Berechnung von Grundzustands- und Anregungsenergien für quantenmechanische Einsperrungsprobleme in Übungsaufgaben. - Bestimmung der Photonenwellenlängen bei Quantenübergängen zwischen benachbarten Energieniveaus. - Größenordnungsabschätzungen für Teilchen in nanoskaligen Systemen, Halbleiter-Quantentöpfen oder Atomkernen. ## Funktionsweise - Wählen Sie ein vordefiniertes Teilchen (Elektron, Proton, Neutron, Alpha) oder geben Sie eine benutzerdefinierte Masse in Kilogramm an. - Legen Sie die Kastenlänge L zusammen mit der gewünschten Längeneinheit (m, mm, µm, nm oder pm) fest. - Geben Sie die Hauptquantenzahl n an und bestimmen Sie optional, bis zu welchem Niveau (bis n = 12) die Energieleiter tabelliert werden soll. - Das Tool berechnet die Energiewerte in Joule und eV/MeV, ermittelt die de-Broglie-Stehwellenbedingung λ_dB = 2L/n und gibt die Übergangswellenlänge für n+1 → n aus. ## Anwendungsfälle - Analyse der Quantenbegrenzung von Leitungselektronen in 1D-Nanostrukturen und organischen Molekülketten. - Veranschaulichung der MeV-Energieskalen von Nukleonen in ultrakleinen Potentialtöpfen der Kernphysik. - Verifikation analytischer Rechenschritte in Vorlesungen und Seminaren zur Quantentheorie. ## Häufig gestellte Fragen ### Was sagt die Nullpunktsenergie E_1 physikalisch aus? Sie beschreibt die minimale kinetische Energie im Grundzustand n = 1, die zeigt, dass ein eingesperrtes Quantenteilchen niemals vollkommen in Ruhe sein kann. ### Welche Teilchenarten werden direkt unterstützt? Vordefiniert sind Elektron, Proton, Neutron und Alphateilchen; über die Option 'Eigene Masse' kann jeder beliebige Massewert in kg eingegeben werden. ### Wie wird die de-Broglie-Wellenlänge im Kasten berechnet? Sie wird über die Resonanzbedingung stehender Wellen mit festen Randknoten als λ_dB = 2L/n berechnet. ### Welcher Übergang wird für die Photonenwellenlänge berechnet? Das Tool ermittelt die Energiedifferenz und die entsprechende Photonenwellenlänge für den Übergang vom nächsthöheren Zustand auf das gewählte Niveau (n+1 → n). ### Bis zu welchem Quantenzustand kann die Niveauliste ausgegeben werden? Die zusätzliche Auflistung der Energieniveauleiter unterstützt Quantenzahlen bis maximal n = 12. ## Ähnliche Tools - [Compton-Streuung-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/compton-scattering-calculator): Berechnet die Compton-Verschiebung Δλ = (h/m_e·c)(1 − cos θ): Aus der einfallenden Röntgenwellenlänge (pm/Å/nm) und dem Streuwinkel θ (0–180°) ergeben sich die Elektronen-Compton-Wellenlänge λ_C, die Verschiebung, Wellenlänge und Energie des gestreuten Photons, der auf den Rückstoßelektron übertragene Energieanteil und der Rückstoßwinkel cot φ = (1 + E/m_e·c²)·tan(θ/2). Die Fälle θ = 0° (Transmission ohne Verschiebung) und θ = 180° (Rückstreuung mit maximaler Verschiebung 2λ_C, Elektron nach vorn) werden gesondert behandelt. - [Erwartungswert-Rechner für Wellenfunktionen](https://elysiatools.com/de/tools/expectation-value-calculator): Geben Sie diskrete Stichproben einer reellen Wellenfunktion ψ(x) ein (ein „x ψ“-Paar pro Zeile): Das Werkzeug berechnet nach der Trapezregel die Normierung ⟨ψ|ψ⟩ = ∫ψ²dx, die Erwartungswerte ⟨x⟩ und ⟨x²⟩ sowie die Standardabweichung σ_x = √(⟨x²⟩−⟨x⟩²). Die Stichproben werden automatisch nach x sortiert, das verschieden sein muss; die Gauß-Beispiele prüfen es: Die symmetrische Gauß-Kurve liefert ⟨x⟩ ≈ 0, σ ≈ 0.707, die verschobene zieht ⟨x⟩ mit dem Maximum. - [Planck-Rechner für Schwarzkörperstrahlung](https://elysiatools.com/de/tools/planck-radiation-calculator): Plancksches Strahlungsgesetz B_λ(T) = (2hc²/λ⁵)/(e^(hc/λkT) − 1): Geben Sie eine Temperatur (Standard: die Sonnenphotosphäre mit 5778 K) und optional eine Wellenlänge ein — ausgegeben werden das Wien-Maximum λ_max = b/T mit spektraler Strahldichte/Exitanz am Peak, der Wert an der gewünschten Wellenlänge (als Prozentsatz des Peaks) und die Gesamtexitanz nach Stefan-Boltzmann M = σT⁴. Das Beispiel des menschlichen Körpers bei 310 K liefert ein Infrarotmaximum von 9.35 µm — das Arbeitsband thermischer Kameras. - [Quantenharmonischer-Oszillator-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/quantum-harmonic-oscillator): Niveaus des quantenharmonischen Oszillators, E_n = (n + ½)ℏω: Eingabe von Masse und Federkonstante (ω = √(k/m)), Kreisfrequenz oder Frequenz. Ausgegeben werden die Nullpunktsenergie E_0 = ½ℏω (der Oszillator kann nie ruhen), der exakt gleichmäßige Abstand ħω, die Photonenwellenlänge benachbarter Übergänge, die klassischen Umkehrpunkte und optional die Niveauleiter. Die typischen ~0.1–0.4 eV molekularer Schwingungen stammen genau aus diesem ħω. - [Relativistischer Doppler-Effekt-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/relativistic-doppler-effect): Longitudinaler relativistischer Dopplereffekt: Eine sich mit β entfernende Quelle gibt f = f₀·√((1−β)/(1+β)) und Rotverschiebung 1+z = √((1+β)/(1−β)); bei Annäherung kippt das Verhältnis in eine Blauverschiebung. Ausgegeben werden das Frequenzverhältnis, z sowie beobachtete Frequenz und Wellenlänge mit Bande. Das Beispiel verfolgt die Hα-Linie einer mit 0.5c fliehenden Galaxie ins Infrarote — dieselbe Verschiebung wie in Kosmologie und Radialgeschwindigkeits-Durchmusterungen. - [Rydberg-Formel-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/rydberg-formula-calculator): Rydberg-Formel 1/λ = R·Z²(1/n₁² − 1/n₂²): wählen Sie ein wasserstoffähnliches Ion der Ladung Z (He⁺, Li²⁺…) und die unteren/oberen Niveaus, mit R∞ für unendliche Kernmasse oder reduzierter Massenkorrektur für Wasserstoff-1, Deuterium, Helium-4 oder eigene Masse. Ausgegeben werden Wellenlänge, Photonenenergie, Frequenz und Bande; He⁺ 4→2 weist auf die Koinzidenz mit der Lyman-α des Wasserstoffs hin (Pickering-Serie), und die Balmer-Linien zeigen ihre Farben Hα–Hδ. - [Normalisierungskonstanten-Rechner für Wellenfunktionen](https://elysiatools.com/de/tools/wave-function-normalizer): Löst die Normierungskonstante A (so dass ∫|ψ|²dx = 1) für die klassischen Familien: unendlicher Kasten ψ = A·sin(nπx/L) gibt A = √(2/L); Gauß A·exp(−x²/(2σ²)) gibt A = (πσ²)^(−1/4); Oszillator-Grundzustand A·exp(−mωx²/(2ℏ)) gibt A = (mω/πℏ)^(1/4); einseitige Exponentialfunktion A·exp(−αx) gibt A = √(2α). Mit Einheitswahrscheinlichkeitsprobe und Momenten ⟨x⟩, σ_x. - [Audio-zu-Text Transkriptor (KI)](https://elysiatools.com/de/tools/audio-to-text-transcriber): Transkribiert Sprache aus Audio (wav/mp3/m4a/flac/ogg/webm/aac) in Text, SRT, VTT oder JSON mit grok-stt. Bis 10 Min. ## Beispiele - [MP3 Audio-Beispiele ohne Urheberrechte](https://elysiatools.com/de/samples/mp3-samples): Sammlung urheberrechtsfreier Audio-Beispiele zum Testen und Entwickeln, einschließlich Naturklänge, Meditationsmusik und Umgebungsgeräusche - [WAV Audio-Beispiele ohne Urheberrechte](https://elysiatools.com/de/samples/wav-samples): Sammlung unkomprimierter WAV-Audios für Tests und Entwicklung, einschließlich Naturklänge und Meditationsmusik - [Urheberrechtsfreie Roh-PCM-Audio-Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/pcm-samples): Roh-PCM-s16le-Beispiele mit Naturambiente und entspannender Musik für Wellenformansicht, Wiedergabe und Konvertierung - [Sprach-, Lern- und Sicherheitsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/audio-learning-safety-samples): Deterministische synthetische WAV-Eingaben für Aussprache, Diktat, Alarm und Datenschutz. ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.