# Partialbruchzerlegungs-Rechner (rationale Funktionen) Zerlegt die rationale Funktion F(x) = N(x)/D(x) in Partialbrüche (Nennergrad ≤ 6, Zähler ≤ 8; unechte Brüche werden zuerst durch Polynomdivision geteilt): Wurzeln des Nenners nach Durand–Kerner, gruppiert nach Vielfachheit und konjugierten Paaren, exaktes lineares Koeffizientensystem für Terme A/(x−r)^j und (Bx+C)/((x−α)²+β²) sowie numerische Restprüfung an algebraischen Testpunkten. Klassiker: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/partial-fraction-decomposer - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** partialbrüche, partialbruchzerlegung, rationale funktion, polynomdivision, komplexe wurzeln, mehrfache wurzeln, konjugierte paare, algebra, integralrechnung ## Überblick Der Partialbruchzerlegungs-Rechner zerlegt rationale Funktionen F(x) = N(x)/D(x) automatisch in Partialbrüche mit reellen und komplexen Nennertermen. Bei unechten Brüchen führt das Werkzeug zunächst eine Polynomdivision durch, bestimmt die Nullstellen des Nenners über das Durand–Kerner-Verfahren und löst das resultierende lineare Gleichungssystem inklusive numerischer Restprüfung. ## Eingaben - **Zählerkoeffizienten N(x) (Konstante zuerst)** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, degree ≤ 8, e.g. 5,3 → 3x + 5. - **Nennerkoeffizienten D(x) (Konstante zuerst)** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree 1–6, e.g. 2,3,1 → x² + 3x + 2. - **Dezimalstellen** (number) ## Wann verwenden - Vorbereitung rationaler Funktionen für die symbolische oder numerische Integration in der Analysis. - Rücktransformation von gebrochen-rationalen Übertragungsfunktionen bei der Laplace- oder Z-Transformation in der Regelungstechnik. - Überprüfung von handschriftlichen Polynomdivisionen und Partialbruchansätzen bei mehrfachen oder komplexen Nullstellen. ## Funktionsweise - Eingabe der Koeffizienten von Zähler N(x) (bis Grad 8) und Nenner D(x) (bis Grad 6) als kommagetrennte Liste, beginnend mit dem konstanten Glied. - Liegt ein unechter Bruch vor (Zählergrad ≥ Nennergrad), spaltet eine Polynomdivision den polynomialen Anteil Q(x) und den echten Restbruch R(x)/D(x) ab. - Die Nennerwurzeln werden ermittelt, nach Vielfachheiten und komplex konjugierten Paaren gruppiert und in Partialbruchterme der Formen A/(x−r)^j sowie (Bx+C)/((x−α)²+β²) zerlegt. - Ein exaktes Koeffizientensystem bestimmt die Zählerwerte und validiert das Gesamtergebnis an algebraischen Testpunkten mittels Residuum. ## Anwendungsfälle - Gliedweise Integration rationaler Funktionen im Mathematik- und Ingenieurstudium. - Partialbruchzerlegung von Übertragungsfunktionen zur Ermittlung der Impulsantwort in der Systemdynamik. - Zerlegung algebraischer Ausdrücke mit mehrfachen Polstellen in der theoretischen Physik. ## Häufig gestellte Fragen ### In welcher Reihenfolge müssen die Koeffizienten eingegeben werden? Geben Sie die Koeffizienten aufsteigend nach Potenzen ein, beginnend mit dem konstanten Term (z. B. entspricht „5,3“ dem Polynom 3x + 5). ### Was geschieht, wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist? Das Tool führt automatisch eine Polynomdivision durch und gibt das ganzrationale Quotientpolynom plus den zerlegten Restbruch aus. ### Wie werden quadratische Nenner ohne reelle Nullstellen behandelt? Konjugiert-komplexe Wurzelpaare werden zu quadratischen Nennern zusammengefasst und als Term der Form (Bx + C)/((x − α)² + β²) dargestellt. ### Welche Maximalgrade werden für Zähler und Nenner unterstützt? Der Zähler N(x) darf maximal den Grad 8 aufweisen, der Nenner D(x) unterstützt Grade von 1 bis 6. ### Was zeigt die Restprüfung am Ende der Ausgabe an? Sie berechnet die Differenz zwischen Originalfunktion und Partialbruchsumme an algebraischen Testpunkten, um die mathematische Exaktheit zu verifizieren. ## Ähnliche Tools - [Bruch Dezimal Konverter](https://elysiatools.com/de/tools/fraction-decimal-converter): Konvertiere zwischen Brüchen und Dezimalzahlen mit Unterstützung für gemischte Zahlen, unechte Brüche und verschiedene Dezimalformate - [Inverse-Laplace-Transformationsrechner (Partialbrüche)](https://elysiatools.com/de/tools/inverse-laplace-calculator): Berechnet die inverse Laplace-Transformierte von F(s) = N(s)/D(s) (echt gebrochen, Nennergrad ≤ 6): Wurzeln des Nenners, nach Vielfachheit und konjugierten Paaren gruppiert, Partialbruchzerlegung per linearem Koeffizientensystem und gliedweise Rücktransformation mit den Standardpaaren (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Klassiker: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Laplace-Transformationsrechner (Paar-Tabelle)](https://elysiatools.com/de/tools/laplace-transform-calculator): Liefert per Tabelle die Laplace-Transformierte F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 Standardpaare (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) mit exponentieller Verschiebung, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich (z. B. s > a), Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle s (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Löser für lineare DGL 2. Ordnung (charakteristische Gleichung)](https://elysiatools.com/de/tools/second-order-ode-solver): Löst a·y'' + b·y' + c·y = f(x): Wurzeln der charakteristischen Gleichung ar² + br + c = 0, homogene Lösung nach Diskriminante klassifiziert (zwei verschiedene reelle / doppelte / konjugiert komplexe Wurzeln) und partikuläre Lösung per Ansatz unbestimmter Koeffizienten mit Resonanz (ist k Wurzel, wird der Ansatz mit x^m multipliziert). Konstanten, Polynome, A·e^(kx) und A·sin(kx)+B·cos(kx) werden unterstützt; mit y(x₀) und y'(x₀) bestimmen C1, C2 ein 2×2-System. Klassiker: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Z-Transformationsrechner (diskrete Systeme)](https://elysiatools.com/de/tools/z-transform-calculator): Liefert per Tabelle die einseitige Z-Transformierte X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 Standardpaare (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich |z| > R, Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle z (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. - [Luftwechselraten-Rechner ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/de/tools/air-changes-per-hour): Berechnet die Luftwechselrate n=Q/V (1/h) aus Außenluft-Volumenstrom Q und Raumvolumen V. Drei Modi: n (Q,V), Volumenstrom (n,V) oder Volumen (n,Q). Volumenstrom in m³/s/m³/h/CFM, Volumen in m³/ft³/L. Liefert die Zeit zum Erreichen des Lüftungsziels (Restanteil, Standard 1%) nach dem ideal durchmischten Modell: t=−ln(ε)/n. - [Wälzlager-Lebensdauer-L10-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/bearing-life-l10): Berechnet die nominelle Lebensdauer L10 = (C/P)^p eines Wälzlagers. Kugel p=3, Rolle p=10/3. Mit Drehzahl als L10h in Stunden. - [Schraubenmoment-Vorspannkraft-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/bolt-torque-clamp-force): Rechnet zwischen Anzugsdrehmoment und axialer Vorspannkraft einer Schraube um. T = K·F·d, K ist der Muttenfaktor (≈0.20 trockener Stahl). Moment aus Kraft oder Kraft aus Moment. ## Beispiele - [Netlify Edge Functions Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/netlify-edge-functions-samples): Umfassende Netlify Edge Functions Beispiele mit Middleware, Authentifizierung, A/B Testing, Geolokalisierung und fortgeschrittenen Edge Computing Patterns - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Azure Functions Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/azure-functions): Azure Functions serverless computing Beispiele mit HTTP-Triggern, Timern und Integrationen - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.