# Newton-Raphson-Nullstellenrechner Löst f(x) = 0 mit der Newton-Raphson-Iteration x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): Die Ableitung kann analytisch angegeben werden (bleibt das Feld leer, wird eine numerische zentrale Differenz verwendet); ausgegeben werden die Iterationstabelle (x_k und f(x_k)), das Abbruchkriterium (|f| < Toleranz oder |Δx| < Toleranz·max(1,|x|)), die Iterationszahl und das endgültige |f(Wurzel)|. Klassiker: x²−2 konvergiert von x₀=1 in 4 Schritten gegen √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x konvergiert gegen die Dottie-Zahl 0.7390851332. Nullableitung, divergierende Schritte oder das Überschreiten des Iterationslimits werden explizit gemeldet. > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/newton-raphson-root-finder - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** newton-raphson, newton-verfahren, nullstellensuche, nichtlineare gleichung, numerisches verfahren, iteration, tangentenverfahren, quadratische konvergenz, numerische analysis ## Überblick Der Newton-Raphson-Nullstellenrechner löst nichtlineare Gleichungen der Form f(x) = 0 mithilfe des klassischen Tangentenverfahrens. Neben dem berechneten Näherungswert liefert das Tool eine vollständige Iterationstabelle mit Einzelschritten, Funktionswerten f(x_k) und Details zum Abbruchkriterium. ## Eingaben - **f(x)-Ausdruck** (text): The function whose root is sought, in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln. - **f'(x)-Ausdruck (optional)** (text): Optional analytic derivative; when blank a central difference (h ≈ 1e-7) is used. - **Startwert x₀** (number): Starting point of the iteration. - **Toleranz** (number): Convergence threshold on |f(x)| and on the step size. - **Max. Iterationen** (number): Hard cap on the number of iterations (2–200). - **Dezimalstellen** (number) ## Wann verwenden - Wenn eine nichtlineare oder transzendente Gleichung analytisch nicht direkt nach x aufgelöst werden kann. - Wenn für universitäre Übungen oder numerische Analysen der genaue Schritt-für-Schritt-Verlauf der Iteration benötigt wird. - Wenn Nullstellen mit hoher Präzision und quadratischer Konvergenz schnell approximiert werden sollen. ## Funktionsweise - Geben Sie den Funktionsausdruck f(x) ein und tragen Sie optional die analytische Ableitung f'(x) ein (bleibt das Feld leer, berechnet das Tool automatisch eine zentrale Differenz). - Legen Sie den Startwert x₀, die gewünschte Toleranz für den Abbruch und die maximale Anzahl an Iterationsschritten fest. - Das Tool berechnet iterativ x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) bis das Abbruchkriter (|f(x)| < Toleranz oder relative Schrittweite) erfüllt ist oder das Limit erreicht wird. - Prüfen Sie die ausgegebene Tabelle mit allen Zwischenschritten, der finalen Wurzel und dem Restfunktionswert |f(x)|. ## Anwendungsfälle - Approximation von Quadratwurzeln und Polynomnullstellen im Rahmen von Ingenieurberechnungen. - Bestimmung von Fixpunkten und Schnittpunkten transzendenter Gleichungen wie cos(x) = x. - Verifikation von Konvergenzverhalten und Fehlerabschätzungen in der numerischen Mathematik. ## Häufig gestellte Fragen ### Was passiert, wenn das Feld für f'(x) leer gelassen wird? Das Tool berechnet die Steigung automatisch über ein numerisches zentrales Differenzenverfahren mit einer Schrittweite von h ≈ 1e-7. ### Welche mathematischen Funktionen werden im Ausdruck unterstützt? Unterstützt werden Grundrechenarten (+, -, *, /, ^), Klammern sowie Standardfunktionen wie exp, sin, cos, ln und sqrt. ### Was geschieht, wenn die Ableitung während der Iteration null wird? Eine Division durch null wird abgefangen und die Iteration bricht mit einer entsprechenden Fehlermeldung zur Nullableitung ab. ### Welche Kriterien führen zum erfolgreichen Abbruch der Iteration? Die Rechnung stoppt, sobald |f(x)| kleiner als die vorgegebene Toleranz ist oder die Schrittweite |Δx| unter die relative Toleranz fällt. ### Wie viele Nachkommastellen können ausgegeben werden? Über den Parameter Dezimalstellen kann die Anzeigeausgabe flexibel zwischen 0 und 12 Nachkommastellen eingestellt werden. ## Ähnliche Tools - [Schiefe-Analysator](https://elysiatools.com/de/tools/skewness-analyzer): Datenschiefe analysieren, um die Asymmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu messen und Datenmuster zu identifizieren - [Löser für DGL 1. Ordnung (Variablentrennung)](https://elysiatools.com/de/tools/first-order-ode-solver): Löst dy/dx = g(x)·h(y) durch Variablentrennung: trennen, gliedweise integrieren zu H(y) = G(x) + C und, wenn möglich, nach y auflösen. Unterstützt eintermige h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) und per Partialbruchzerlegung behandelbare quadratische Polynome (etwa die logistische Gleichung y(1−y)); mit Anfangsbedingung y(x₀)=y₀ wird C berechnet und Gleichgewichtslösungen erkannt. Beispiel: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C). - [Simpson-Regel-Integrator (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/de/tools/numerical-integration-simpson): Berechnet ∫ₐᵇ f(x)dx mit der zusammengesetzten Simpson-1/3-Regel (n gerade): S = h/3·(f(a) + 4Σungerade Knoten + 2Σgerade innere Knoten + f(b)), Fehler O(h⁴), exakt für Polynome vom Grad ≤ 3. Knotentabelle, Schätzung und optionaler Vergleich mit dem exakten Wert. Beispiele: ∫₀¹x²dx mit n=4 ergibt 0,333333 (exakt!); ∫₀¹e^(−x²)dx (ohne elementare Stammfunktion) mit n=10 ergibt 0,746825. - [Trapezregel-Integrator (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/de/tools/numerical-integration-trapezoid): Berechnet ∫ₐᵇ f(x)dx mit der zusammengesetzten Trapezregel: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), mit Knotentabelle, Integral-Schätzung und optionalem Vergleich mit exaktem Wert und absolutem Fehler; Fehler O(h²) (exakt für lineare Funktionen). Beispiel: ∫₀¹x²dx mit n=4 ergibt 0,34375 gegenüber exakt 1/3, Fehler 0,010417. - [Numerischer Löser Runge-Kutta 4. Ordnung (RK4)](https://elysiatools.com/de/tools/runge-kutta-rk4-solver): Löst dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung: pro Schritt werden vier Steigungen k1–k4 berechnet und y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4) aktualisiert; globaler Fehler O(h⁴) — halbiertes h teilt den Fehler ungefähr durch 16. Liefert die Schrittabelle, die k1–k4-Werte der ersten Schritte und die Endschätzung; die optionale exakte Lösung y(x) ergibt eine Fehlerspalte. Beispiel: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, fast exakt e. - [Reihenkonvergenz-Tester (Quotienten-/Wurzel-/Integral-/Vergleichskriterium)](https://elysiatools.com/de/tools/series-convergence-tester): Untersucht die Konvergenz der Reihe Σ aₙ (aₙ als Ausdruck von n): nacheinander werden das Notwendigkeitskriterium (aₙ → 0?), das Quotientenkriterium L = |aₙ₊₁/aₙ|, das Wurzelkriterium ρ = |aₙ|^(1/n), der Vergleich mit p-Reihen (p = −ln|a(N)|/ln N) und das Integralkriterium (numerisches Simpson + Dekaden-Wachstumsvergleich) angewendet; alternierende Reihen werden automatisch erkannt und per Leibniz-Kriterium klassifiziert, und für konvergente Reihen wird die Summe geschätzt (Partialsumme + geometrischer oder potenzgesetzlicher Rest). Klassiker: Σ1/n² konvergiert (p≈2, Summe≈1.6449); Σ1/n divergiert (harmonisch); Σ0.5ⁿ konvergiert; Σcos(πn)/n konvergiert bedingt (Summe≈−ln2). - [Ausreißer-Prozessor](https://elysiatools.com/de/tools/data-outlier-processor): Fortgeschrittene Ausreißer-Erkennung und -Verarbeitungswerkzeug, das anomale Werte mit mehreren statistischen Methoden identifiziert, entfernt oder ersetzt. - [Ausreißer-Detektor](https://elysiatools.com/de/tools/outlier-detector): Erkennt Ausreißer in numerischen Daten mit verschiedenen statistischen Methoden einschließlich IQR, Z-Score und modifiziertem Z-Score ## Beispiele - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-rust): Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.