# Modularer Inversen-Rechner (erweiterter Euklid)

Berechnet a⁻¹ mod m mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus: liefert die Bézout-Koeffizienten a·x + m·y = gcd(a, m), die vollständige Tabelle der Vorwärtskoeffizienten (jede Zeile erfüllt r = a·s + m·t) und die Verifikation a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m). Akzeptiert RSA-große Zahlen (bis 10⁵¹²) und meldet deutlich, wenn gcd(a, m) ≠ 1 kein Inverses zulässt. Klassiker: in RSA ist 17⁻¹ mod 3120 = 2753.

> Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/modular-inverse-calculator

- **Kategorie:** Math & Numbers

- **Schlagwörter:** modulares inverses, erweiterter euklid, bézout-identität, bézout-koeffizienten, rsa, modulararithmetik, zahlentheorie, multiplikatives inverses

## Überblick

Dieser modulare Inversen-Rechner berechnet das multiplikative Inverse a⁻¹ mod m mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus. Er liefert die Bézout-Koeffizienten, eine optionale Schritt-für-Schritt-Tabelle und eine mathematische Verifikation – auch für RSA-große Zahlen bis zu 10⁵¹².

## Eingaben

- **Wert a** (text): The value to invert; negative values are reduced mod m first.
- **Modul m** (text): Modulus, m ≥ 2. Inputs up to 10⁵¹² are accepted (RSA-sized).
- **Ausgabestil** (select)

## Wann verwenden

- Bei der RSA-Schlüsselerzeugung zur Bestimmung des privaten Schlüsselexponenten d = e⁻¹ mod φ(n).
- Beim Lösen linearer Kongruenzen und diophantischer Gleichungen in der Zahlentheorie.
- Zur Entschlüsselung klassischer Verfahren wie der affinen Chiffre über modularen Alphabeten.

## Funktionsweise

- Geben Sie die zu invertierende Zahl a sowie das Modul m (m ≥ 2) ein.
- Wählen Sie den gewünschten Ausgabestil aus: kompaktes Ergebnis mit Verifikation oder die vollständige Schritt-Tabelle.
- Das Tool ermittelt per erweitertem Euklid den ggT(a, m), berechnet die Bézout-Identität und gibt das Inverse a⁻¹ mod m aus.

## Anwendungsfälle

- Kryptografie-Praktikum: RSA-Schlüsselkomponenten nachvollziehbar berechnen und verifizieren.
- Mathematikstudium: Schrittweise Lösung diophantischer Gleichungen und modularer Gleichungssysteme.
- Chiffrieranalyse: Bestimmung inverser Multiplikatoren für historische Substitutionschiffren.

## Häufig gestellte Fragen

### Wann existiert ein modulares Inverses?

Ein modulares Inverses a⁻¹ mod m existiert genau dann, wenn a und m teilerfremd sind, also gcd(a, m) = 1 gilt.

### Können auch negative Zahlen für a eingegeben werden?

Ja, negative Werte werden vor der Invertierung automatisch positiv modulo m reduziert.

### Wie groß dürfen die Eingabewerte sein?

Das Tool unterstützt beliebig große Ganzzahlen, inklusive kryptografischer Schlüssellängen bis zu 10⁵¹².

### Was zeigt die Schritt-Tabelle des erweiterten Euklid?

Sie listet für jede Iteration den Rest r, den Quotienten q sowie die Bézout-Vorwärtskoeffizienten r = a·s + m·t auf.

### Was passiert, wenn gcd(a, m) ungleich 1 ist?

Das Tool gibt eine klare Meldung aus, dass kein Inverses existiert, da die Werte einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben.

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