# Laplace-Transformationsrechner (Paar-Tabelle)

Liefert per Tabelle die Laplace-Transformierte F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 Standardpaare (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) mit exponentieller Verschiebung, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich (z. B. s > a), Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle s (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1.

> Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/laplace-transform-calculator

- **Kategorie:** Math & Numbers

- **Schlagwörter:** laplace-transformation, laplace-tabelle, transformationspaare, lti-systeme, dgl-lösung, konvergenzbereich, verschiebungssatz, dirac-impuls, sprungfunktion, analysis

## Überblick

Der Laplace-Transformationsrechner liefert die einseitige Laplace-Transformierte F(s) für 14 mathematische Standardfunktionen anhand einer Korrespondenztabelle. Das Werkzeug setzt Parameter wie Exponenten, Kreisfrequenzen und Potenzen direkt in die analytische Lösung ein, weist den exakten Konvergenzbereich aus und ermöglicht eine numerische Auswertung an einer frei wählbaren Stelle s.

## Eingaben

- **f(t)-Form** (select)
- **Parameter a (Exponent)** (number): Exponential rate in e^(at) forms.
- **Parameter k (Frequenz)** (number): Angular frequency in sin/cos/sinh/cosh forms (must be nonzero).
- **Parameter n (Potenz, 1–10)** (number): Power in t^n forms (integer 1–10; the factorial n! is used).
- **F(s) bei s auswerten (optional)** (number): Numeric evaluation point; must satisfy the region of convergence.
- **Dezimalstellen** (number)

## Wann verwenden

- Beim Lösen linearer Differentialgleichungen in der Regelungstechnik, Physik oder Elektrotechnik.
- Zum Nachschlagen und Verifizieren von Laplace-Transformationspaaren inklusive Konvergenzbereich.
- Zur punktuellen numerischen Auswertung des Bildbereichs F(s) an einer konkreten Stelle s₀.

## Funktionsweise

- Wählen Sie die gewünschte Zeitfunktion f(t) aus der Liste von 14 vordefinierten Standardpaaren aus.
- Geben Sie die modellspezifischen Parameter wie Exponent a, Kreisfrequenz k oder Potenz n ein.
- Tragen Sie optional eine Auswertungsstelle s₀ und die gewünschte Anzahl an Dezimalstellen ein.
- Erhalten Sie die geschlossene Formel von F(s), den Konvergenzbereich, Herleitungshinweise sowie den berechneten Wert F(s₀).

## Anwendungsfälle

- Systemdynamik: Transformation gedämpfter Schwingungen und exponentieller Einschaltvorgänge für LTI-Übertragungsfunktionen.
- Hochschullehre: Schnelle Verifikation manueller Zwischenschritte und Konvergenzbedingungen bei Übungsaufgaben.
- Netzwerkanalyse: Bestimmung der Spektraldarstellung von Impulsantworten (Dirac-Stoß) und Sprungantworten.

## Häufig gestellte Fragen

### Welche Standardfunktionen deckt der Rechner ab?

Er unterstützt 14 Basisfunktionen: 1 (Sprungfunktion), t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin(kt), cos(kt), e^(at)sin(kt), e^(at)cos(kt), sinh(kt), cosh(kt), t·sin(kt), t·cos(kt) und den Dirac-Impuls δ(t).

### Was passiert, wenn der Auswertungspunkt s₀ außerhalb des Konvergenzbereichs liegt?

Der Rechner prüft die Konvergenzbedingung (z. B. s > a) und weist darauf hin, wenn der gewählte Punkt im Divergenzbereich des uneigentlichen Integrals liegt.

### Welche Werte können für den Exponenten n eingegeben werden?

Für Potenzfunktionen tⁿ und tⁿe^(at) werden ganzzahlige Werte im Bereich von 1 bis 10 verarbeitet, wobei die Fakultät n! berechnet wird.

### Wird der Verschiebungssatz bzw. Dämpfungssatz berücksichtigt?

Ja, exponentiell gedämpfte Funktionen wie e^(at)·sin(kt) oder tⁿ·e^(at) sind direkt als vorkonfigurierte Transformationspaare hinterlegt.

### Wie wird der Dirac-Impuls δ(t) behandelt?

Für den Dirac-Impuls liefert der Rechner die exakte Transformierte F(s) = 1, welche für die gesamte komplexe Ebene konvergiert.

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