# Inverse-Laplace-Transformationsrechner (Partialbrüche) Berechnet die inverse Laplace-Transformierte von F(s) = N(s)/D(s) (echt gebrochen, Nennergrad ≤ 6): Wurzeln des Nenners, nach Vielfachheit und konjugierten Paaren gruppiert, Partialbruchzerlegung per linearem Koeffizientensystem und gliedweise Rücktransformation mit den Standardpaaren (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]). Klassiker: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/inverse-laplace-calculator - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** inverse laplace-transformation, partialbrüche, rationale funktion, laplace-paare, komplexe wurzeln, mehrfache wurzeln, dgl-lösung, übertragungsfunktion, analysis ## Überblick Der Inverse-Laplace-Transformationsrechner ermittelt die Zeitfunktion f(t) aus einer echt gebrochenen rationalen Übertragungsfunktion F(s) = N(s)/D(s). Durch Nullstellenbestimmung des Nenners, Partialbruchzerlegung und gliedweise Rücktransformation liefert das Tool die exakte symbolische und numerisch gerundete Zeitbereichslösung für Nennerpolynome bis zum 6. Grad. ## Eingaben - **Zählerkoeffizienten N(s) (Konstante zuerst)** (text): Comma-separated numerator coefficients, constant term first, e.g. 5,3 → 3s + 5. - **Nennerkoeffizienten D(s) (Konstante zuerst)** (text): Comma-separated denominator coefficients, constant term first, degree ≤ 6, e.g. 2,3,1 → s² + 3s + 2. - **Dezimalstellen** (number) ## Wann verwenden - Bei der Lösung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten über den s-Bereich. - Zur Bestimmung der Impuls- oder Übergangsantwort von Übertragungsfunktionen in der Systemtheorie. - Zur schnellen Zerlegung rationaler s-Funktionen in Partialbrüche mit reellen, mehrfachen oder komplex konjugierten Polstellen. ## Funktionsweise - Geben Sie die Koeffizienten von Zähler N(s) und Nenner D(s) kommagetrennt ein, beginnend mit dem konstanten Glied (z. B. „2,3,1“ für s² + 3s + 2). - Der Rechner ermittelt die Nullstellen des Nennerpolynoms und gruppiert sie nach einfachen, mehrfachen sowie komplex konjugierten Polpaaren. - Über ein lineares Gleichungssystem werden die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung exakt bestimmt. - Jeder Partialbruch wird anhand analytischer Laplace-Standardpaare in Exponential-, Potenz- und trigonometrische Terme rücktransformiert. ## Anwendungsfälle - Analyse von elektrischen RLC-Netzwerken und Einschwingvorgängen im Zeitbereich. - Modellierung des dynamischen Verhaltens linearer Regelkreise anhand von Übertragungsfunktionen. - Überprüfung und Nachvollziehen analytischer Rechenschritte bei mathematischen Aufgabenstellungen zur Laplace-Transformation. ## Häufig gestellte Fragen ### In welcher Reihenfolge müssen die Polynomkoeffizienten eingegeben werden? Geben Sie die Koeffizienten aufsteigend nach Potenzen ein, beginnend mit dem konstanten Term (z. B. a₀, a₁, a₂ für a₂s² + a₁s + a₀). ### Werden komplex konjugierte Polstellen unterstützt? Ja, quadratische Terme mit komplexen Wurzeln werden automatisch in trigonometrische Schwingungsterme der Form e^(αt)·[B·cos(βt) + C·sin(βt)] überführt. ### Welcher maximale Polynomgrad für den Nenner ist zulässig? Das Tool unterstützt Nennerpolynome bis einschließlich Grad 6. ### Kann der Rechner auch unecht gebrochene Brüche verarbeiten? Nein, die Funktion muss echt gebrochen sein, der Grad des Zählers muss also kleiner als der Grad des Nenners sein. ### Wie werden mehrfache Polstellen berechnet? Mehrfache reelle Pole (s − r)^j werden nach den Standardregeln in Potenzen von t mit Exponentialfaktor t^(j−1)·e^(rt)/(j−1)! transformiert. ## Ähnliche Tools - [Laplace-Transformationsrechner (Paar-Tabelle)](https://elysiatools.com/de/tools/laplace-transform-calculator): Liefert per Tabelle die Laplace-Transformierte F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 Standardpaare (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) mit exponentieller Verschiebung, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich (z. B. s > a), Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle s (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Partialbruchzerlegungs-Rechner (rationale Funktionen)](https://elysiatools.com/de/tools/partial-fraction-decomposer): Zerlegt die rationale Funktion F(x) = N(x)/D(x) in Partialbrüche (Nennergrad ≤ 6, Zähler ≤ 8; unechte Brüche werden zuerst durch Polynomdivision geteilt): Wurzeln des Nenners nach Durand–Kerner, gruppiert nach Vielfachheit und konjugierten Paaren, exaktes lineares Koeffizientensystem für Terme A/(x−r)^j und (Bx+C)/((x−α)²+β²) sowie numerische Restprüfung an algebraischen Testpunkten. Klassiker: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [Löser für lineare DGL 2. Ordnung (charakteristische Gleichung)](https://elysiatools.com/de/tools/second-order-ode-solver): Löst a·y'' + b·y' + c·y = f(x): Wurzeln der charakteristischen Gleichung ar² + br + c = 0, homogene Lösung nach Diskriminante klassifiziert (zwei verschiedene reelle / doppelte / konjugiert komplexe Wurzeln) und partikuläre Lösung per Ansatz unbestimmter Koeffizienten mit Resonanz (ist k Wurzel, wird der Ansatz mit x^m multipliziert). Konstanten, Polynome, A·e^(kx) und A·sin(kx)+B·cos(kx) werden unterstützt; mit y(x₀) und y'(x₀) bestimmen C1, C2 ein 2×2-System. Klassiker: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Z-Transformationsrechner (diskrete Systeme)](https://elysiatools.com/de/tools/z-transform-calculator): Liefert per Tabelle die einseitige Z-Transformierte X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 Standardpaare (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich |z| > R, Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle z (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. - [Betragsrechner](https://elysiatools.com/de/tools/absolute-value-calculator): Berechnet den Betrag positiver, negativer oder dezimaler Zahlen und erklaert ihren Abstand zu null - [Luftwechselraten-Rechner ACH (n = Q/V)](https://elysiatools.com/de/tools/air-changes-per-hour): Berechnet die Luftwechselrate n=Q/V (1/h) aus Außenluft-Volumenstrom Q und Raumvolumen V. Drei Modi: n (Q,V), Volumenstrom (n,V) oder Volumen (n,Q). Volumenstrom in m³/s/m³/h/CFM, Volumen in m³/ft³/L. Liefert die Zeit zum Erreichen des Lüftungsziels (Restanteil, Standard 1%) nach dem ideal durchmischten Modell: t=−ln(ε)/n. - [Wälzlager-Lebensdauer-L10-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/bearing-life-l10): Berechnet die nominelle Lebensdauer L10 = (C/P)^p eines Wälzlagers. Kugel p=3, Rolle p=10/3. Mit Drehzahl als L10h in Stunden. - [Schraubenmoment-Vorspannkraft-Rechner](https://elysiatools.com/de/tools/bolt-torque-clamp-force): Rechnet zwischen Anzugsdrehmoment und axialer Vorspannkraft einer Schraube um. T = K·F·d, K ist der Muttenfaktor (≈0.20 trockener Stahl). Moment aus Kraft oder Kraft aus Moment. ## Beispiele - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-rust): Web Rust Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.