# Nullsummenspiel-Löser (Sattelpunkt / lineare Programmierung) Löst Nullsummenspiele 2–6 × 2–6 (die Auszahlungsmatrix gehört zum Zeilenspieler, dem Maximierer; der Spaltenspieler zahlt): zuerst der Sattelpunkttest (gleicht das Maximin der Zeilenminima dem Minimax der Spaltenmaxima, existiert ein Gleichgewicht in reinen Strategien und alle Sattelzellen werden aufgelistet); andernfalls wird die Matrix verschoben, sodass alle Einträge ≥ 1 sind, und ein einphasiger Simplex (Schlupfbasis, Bland-Regel) löst max Σz u. d. N. Bz ≤ 1: das Primal liefert die gemischte Strategie q des Spaltenspielers, und die dualen Schattenpreise sind exakt die Lösung y des Zeilenspielers; der Wert wird zurückverschoben, x, q und v werden numerisch verifiziert (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) samt Minimax-Gleichheit. Klassiker: Münzwurf [[1,-1],[-1,1]] → Wert 0 mit 0.5/0.5-Mischungen. > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/game-theory-zero-sum - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** spieltheorie, nullsummenspiel, sattelpunkt, gemischte strategie, minimax, nash-gleichgewicht, lineare programmierung, schattenpreis, auszahlungsmatrix, operations research ## Überblick Dieser Nullsummenspiel-Löser analysiert strategische 2–6 × 2–6 Auszahlungsmatrizen zwischen zwei Spielern nach spieltheoretischen Grundsätzen. Das Werkzeug prüft die Matrix zunächst auf reine Gleichgewichte über einen Sattelpunkttest (Maximin versus Minimax) und löst Spiele ohne Sattelpunkt automatisch mittels linearer Programmierung (Simplex-Algorithmus) in gemischten Strategien. ## Eingaben - **Auszahlungsmatrix (Gewinn des Zeilenspielers, eine pro Zeile)** (textarea): Payoffs to the row player (positive = row wins). 2–6 rows × 2–6 columns; the column player minimizes. - **Dezimalstellen** (number) ## Wann verwenden - Wenn Sie ein Zwei-Personen-Nullsummenspiel auf Sattelpunkte in reinen Strategien prüfen möchten. - Wenn kein Sattelpunkt vorliegt und die optimalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (gemischte Strategien) für Zeilen- und Spaltenspieler berechnet werden müssen. - Wenn Sie den exakten Spielwert sowie die Minimax-Sicherheitsniveaus für Matrizen bis 6×6 bestimmen wollen. ## Funktionsweise - Matrixeingabe verarbeiten: Die eingegebene Auszahlungsmatrix (Gewinne für den Zeilenspieler, Verluste für den Spaltenspieler) wird zeilenweise eingelesen. - Sattelpunkttest: Das Werkzeug berechnet die Zeilenminima und Spaltenmaxima; stimmen Maximin und Minimax überein, werden die Sattelpunkt-Zellen als reine Nash-Gleichgewichte ausgegeben. - Lineare Programmierung: Liegt kein Sattelpunkt vor, wird die Matrix positiv verschoben und per einphasigem Simplex-Verfahren gelöst, wobei die primale Lösung die Spaltenstrategie und die dualen Schattenpreise die Zeilenstrategie liefern. - Rückverschiebung und Verifikation: Der Spielwert wird berechnet, die gemischten Strategien normalisiert und die Bedingungen xᵀA ≥ v sowie Aq ≤ v numerisch überprüft. ## Anwendungsfälle - Lösen von klassischen spieltheoretischen Problemen wie Münzwurf (Matching Pennies) oder Schere-Stein-Papier. - Analyse von wettbewerbsorientierten Entscheidungsmodellen in Operations Research und Wirtschaftswissenschaften. - Überprüfung von Minimax-Theoremen und Sicherheitsstrategien in Nullsummen-Konfliktsituationen. ## Häufig gestellte Fragen ### Welche Matrixgrößen werden unterstützt? Das Tool unterstützt rechteckige und quadratische Matrizen von 2×2 bis 6×6. ### Wie wird die Auszahlungsmatrix interpretiert? Die Werte stellen die Auszahlung an den Zeilenspieler dar (positiv = Gewinn für Zeile, Verlust für Spalte). ### Was passiert, wenn mehrere Sattelpunkte existieren? Alle zutreffenden Sattelpunkt-Zellen mit identischem Gleichgewichtswert werden vollständig aufgelistet. ### Wie wird bei gemischten Strategien gerechnet? Das Tool nutzt ein lineares Programm mit Simplex-Algorithmus und Bland-Regel zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten und Schattenpreisen. ### Kann die Ausgabegenauigkeit angepasst werden? Ja, über die Option für Dezimalstellen kann die Rundungsgenauigkeit zwischen 0 und 8 Nachkommastellen gewählt werden. ## Ähnliche Tools - [Permutations-/Kombinations-/Teilmengen-Generator (mit Wiederholungen)](https://elysiatools.com/de/tools/combinatorial-generation): Erzeugt Permutationen, Kombinationen und Teilmengen einer Multimenge, automatisch dedupliziert und in lexikographischer Ordnung: Permutationen über next_permutation mit exakter Anzahl n!/Π(mᵢ!); Kombinationen als alle verschiedenen k-Teilmengen der Multimenge, gezählt als Koeffizient von x^k in Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) bei lauter verschiedenen Elementen); Teilmengen mit Anzahl Π(mᵢ+1) (2ⁿ bei lauter verschiedenen), inklusive leerer Menge. Bis zu 12 Elemente, Anzeige auf 200 Einträge begrenzt, die Anzahl ist stets exakt; im Kombinationsmodus gilt 1 ≤ k ≤ n. Klassiker: Permutationen von \[A, A, B\] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); Teilmengen von \[A, A, B\] → (2+1)(1+1) = 6. - [Inverse-Laplace-Transformationsrechner (Partialbrüche)](https://elysiatools.com/de/tools/inverse-laplace-calculator): Berechnet die inverse Laplace-Transformierte von F(s) = N(s)/D(s) (echt gebrochen, Nennergrad ≤ 6): Wurzeln des Nenners, nach Vielfachheit und konjugierten Paaren gruppiert, Partialbruchzerlegung per linearem Koeffizientensystem und gliedweise Rücktransformation mit den Standardpaaren (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)\[Bcos(βt)+…sin(βt)\]). Klassiker: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t). - [Laplace-Transformationsrechner (Paar-Tabelle)](https://elysiatools.com/de/tools/laplace-transform-calculator): Liefert per Tabelle die Laplace-Transformierte F(s) = ∫₀^∞ e^(−st)f(t)dt: 14 Standardpaare (1, t, tⁿ, e^(at), tⁿe^(at), sin/cos(kt) mit exponentieller Verschiebung, sinh/cosh, t·sin/t·cos, δ(t)), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich (z. B. s > a), Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle s (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: L{e^t} = 1/(s−1), s>1, F(2) = 1. - [Partialbruchzerlegungs-Rechner (rationale Funktionen)](https://elysiatools.com/de/tools/partial-fraction-decomposer): Zerlegt die rationale Funktion F(x) = N(x)/D(x) in Partialbrüche (Nennergrad ≤ 6, Zähler ≤ 8; unechte Brüche werden zuerst durch Polynomdivision geteilt): Wurzeln des Nenners nach Durand–Kerner, gruppiert nach Vielfachheit und konjugierten Paaren, exaktes lineares Koeffizientensystem für Terme A/(x−r)^j und (Bx+C)/((x−α)²+β²) sowie numerische Restprüfung an algebraischen Testpunkten. Klassiker: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)². - [PERT-Netzwerk-Analysator (Erwartungsdauer/Varianz)](https://elysiatools.com/de/tools/pert-network-analyzer): PERT-Analyse mit Drei-Punkt-Schätzungen für 2–20 Vorgänge (einer pro Zeile: Name, optimistisch a, wahrscheinlichste m, pessimistisch b, Vorgänger): te = (a+4m+b)/6, σ² = ((b−a)/6)²; das CPM auf den te liefert den kritischen Pfad, die erwartete Projektdauer TE und die Projektvarianz (Summe der σ² auf dem kritischen Pfad); bei Zielzeit T werden Z = (T−TE)/σ und die Fertigstellungswahrscheinlichkeit Φ(Z) per Normalapproximation berechnet. Verletzungen von a≤m≤b und Zyklen werden abgelehnt; deterministische Netze (σ≈0) ohne Division durch null. Klassiker: A(2,4,6), B(3,5,7), C(2,3,10), D(4,6,8, B C) → TE = 15, σ² = 1.3333, P(T=16) ≈ 80.7 %. - [M/M/c-Warteschlangenrechner (mehrere Server)](https://elysiatools.com/de/tools/queuing-theory-mmc): Berechnet die Kennzahlen des Multiserver-Warteschlangensystems M/M/c (Poisson-Ankünfte mit Rate λ, c identische exponentielle Server mit Rate μ, eine gemeinsame FCFS-Warteschlange): angebotene Last a = λ/μ, Auslastung pro Server ρ, Leerlaufwahrscheinlichkeit P0, Erlang-C-Wartewahrscheinlichkeit Pw, mittlere Anzahlen Lq und L, mittlere Zeiten W und Wq, kreuzgeprüft mit Littles Gesetz und der Beziehung Pw→Lq. Setzt λ < cμ voraus (sonst Ablehnung als instabil); mit c = 1 reduzieren sich die Formeln auf M/M/1. Klassiker: λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889. - [Löser für lineare DGL 2. Ordnung (charakteristische Gleichung)](https://elysiatools.com/de/tools/second-order-ode-solver): Löst a·y'' + b·y' + c·y = f(x): Wurzeln der charakteristischen Gleichung ar² + br + c = 0, homogene Lösung nach Diskriminante klassifiziert (zwei verschiedene reelle / doppelte / konjugiert komplexe Wurzeln) und partikuläre Lösung per Ansatz unbestimmter Koeffizienten mit Resonanz (ist k Wurzel, wird der Ansatz mit x^m multipliziert). Konstanten, Polynome, A·e^(kx) und A·sin(kx)+B·cos(kx) werden unterstützt; mit y(x₀) und y'(x₀) bestimmen C1, C2 ein 2×2-System. Klassiker: y''−3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=0 → y = −e^(2x)+2e^x. - [Z-Transformationsrechner (diskrete Systeme)](https://elysiatools.com/de/tools/z-transform-calculator): Liefert per Tabelle die einseitige Z-Transformierte X(z) = Σₙ₌₀^∞ x\[n\]·z^(−n): 11 Standardpaare (δ\[n\], u\[n\], aⁿ, n, n², n·aⁿ, sin/cos(ω₀n), aⁿ·sin/aⁿ·cos, (−1)ⁿ), mit Parametereinsetzung, Konvergenzbereich |z| > R, Herleitungshinweis und optionaler numerischer Auswertung an einer Stelle z (mit Konvergenzprüfung). Beispiel: Z{0.5ⁿ} = z/(z−0.5), |z| > 0.5, X(2) = 4/3. ## Beispiele - [Bevy Game Engine Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/bevy-samples): Bevy Rust Game Engine Beispiele mit ECS, 2D/3D Grafiken, Audio und Spielmechaniken - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Zero Trust Architektur-Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/zero-trust-samples): Umfassende Zero Trust Architekturbeispiele mit Authentifizierung, Netzsegmentierung und Zugriffskontrolle - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.