# Löser für DGL 1. Ordnung (Variablentrennung) Löst dy/dx = g(x)·h(y) durch Variablentrennung: trennen, gliedweise integrieren zu H(y) = G(x) + C und, wenn möglich, nach y auflösen. Unterstützt eintermige h(y) (y, y^n, e^(ky), ky+m) und per Partialbruchzerlegung behandelbare quadratische Polynome (etwa die logistische Gleichung y(1−y)); mit Anfangsbedingung y(x₀)=y₀ wird C berechnet und Gleichgewichtslösungen erkannt. Beispiel: dy/dx = 2x·y → y = e^(x²+C). > Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/first-order-ode-solver - **Kategorie:** Math & Numbers - **Schlagwörter:** dgl erster ordnung, trennbare differentialgleichung, variablentrennung, anfangswertproblem, partialbruchzerlegung, logistische gleichung, implizite lösung, analysis, symbolische integration ## Überblick Der Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung berechnet analytische Lösungen für trennbare Gleichungen der Form dy/dx = g(x)·h(y) mittels Variablentrennung und schrittweiser Integration. Das Werkzeug unterstützt algebraische Terme, Exponentialfunktionen, trigonometrische Ausdrücke sowie quadratische Polynome via Partialbruchzerlegung und ermittelt bei Bedarf die Integrationskonstante für Anfangswertprobleme. ## Eingaben - **g(x) — Faktor der x-Seite** (text): x-dependent factor of dy/dx = g(x)·h(y). Terms: constants, x^n, (kx+m)^n, e^(kx), sin(kx+m), cos(kx+m), ln(kx+m), sqrt(kx+m). - **h(y) — Faktor der y-Seite** (text): y-dependent factor. Single terms (y, y^n, (ky+m)^n, e^(ky)) or a degree ≤ 2 polynomial with real roots, or c/D(y). - **x₀ (Anfangs-x)** (number): Only used together with y₀ to pin down the constant C. - **y₀ = y(x₀)** (number): Initial value. Leave empty for the general solution; provide with x₀ for the particular solution. ## Wann verwenden - Wenn eine trennbare Differentialgleichung der Form dy/dx = g(x)·h(y) analytisch gelöst werden muss. - Wenn für ein Anfangswertproblem mit gegebenem Punkt (x₀, y₀) die spezifische Integrationskonstante C berechnet werden soll. - Wenn bei nichtlinearer Dynamik wie der logistischen Gleichung eine symbolische Lösung oder implizite Relation benötigt wird. ## Funktionsweise - Die Terme g(x) und h(y) werden eingelesen und die Differentialgleichung in die Form (1/h(y)) dy = g(x) dx umgestellt. - Beide Seiten werden symbolisch integriert, wobei für rationale oder quadratische y-Terme bei Bedarf eine Partialbruchzerlegung angewendet wird. - Die resultierende Stammfunktion H(y) = G(x) + C wird nach Möglichkeit explizit nach y aufgelöst oder als implizite Beziehung ausgegeben. - Falls x₀ und y₀ angegeben sind, wird der Wert der Konstanten C exakt berechnet und in die Lösung eingesetzt. ## Anwendungsfälle - Lösen von Wachstums- und Zerfallsprozessen in Physik und Biologie über separable DGLs. - Schrittweise Überprüfung von Übungsaufgaben zur Variablentrennung im Mathematik- und Ingenieurstudium. - Berechnung von Anfangswertproblemen für logistische Modelle in der Populationsdynamik. ## Häufig gestellte Fragen ### Welche Funktionstypen werden für g(x) unterstützt? Unterstützt werden Konstanten, Potenzen x^n, lineare Terme (kx+m)^n, Exponentialfunktionen e^(kx), trigonometrische Funktionen (sin, cos), der natürliche Logarithmus ln(kx+m) und Wurzeln sqrt(kx+m). ### Wie werden quadratische Ausdrücke in h(y) verarbeitet? Quadratische Polynome mit reellen Nullstellen, wie etwa y(1-y), werden automatisch per Partialbruchzerlegung integriert. ### Was geschieht, wenn die Gleichung nicht nach y aufgelöst werden kann? Lässt sich H(y) nicht durch elementare Operationen invertieren, gibt der Löser die exakte implizite Beziehung H(y) = G(x) + C aus. ### Wie wird eine allgemeine Lösung ohne Anfangswert berechnet? Lassen Sie das Feld für y₀ leer; der Löser behält die Integrationskonstante C als freien Parameter in der Lösung bei. ### Werden Gleichgewichtslösungen (singuläre Lösungen) berücksichtigt? Ja, Nullstellen von h(y) werden als konstante Gleichgewichtslösungen erkannt und im Lösungsweg ausgewiesen. ## Ähnliche Tools - [Newton-Raphson-Nullstellenrechner](https://elysiatools.com/de/tools/newton-raphson-root-finder): Löst f(x) = 0 mit der Newton-Raphson-Iteration x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k): Die Ableitung kann analytisch angegeben werden (bleibt das Feld leer, wird eine numerische zentrale Differenz verwendet); ausgegeben werden die Iterationstabelle (x_k und f(x_k)), das Abbruchkriterium (|f| < Toleranz oder |Δx| < Toleranz·max(1,|x|)), die Iterationszahl und das endgültige |f(Wurzel)|. Klassiker: x²−2 konvergiert von x₀=1 in 4 Schritten gegen √2 ≈ 1.4142135624; cos(x)−x konvergiert gegen die Dottie-Zahl 0.7390851332. Nullableitung, divergierende Schritte oder das Überschreiten des Iterationslimits werden explizit gemeldet. - [Simpson-Regel-Integrator (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/de/tools/numerical-integration-simpson): Berechnet ∫ₐᵇ f(x)dx mit der zusammengesetzten Simpson-1/3-Regel (n gerade): S = h/3·(f(a) + 4Σungerade Knoten + 2Σgerade innere Knoten + f(b)), Fehler O(h⁴), exakt für Polynome vom Grad ≤ 3. Knotentabelle, Schätzung und optionaler Vergleich mit dem exakten Wert. Beispiele: ∫₀¹x²dx mit n=4 ergibt 0,333333 (exakt!); ∫₀¹e^(−x²)dx (ohne elementare Stammfunktion) mit n=10 ergibt 0,746825. - [Trapezregel-Integrator (∫f(x)dx)](https://elysiatools.com/de/tools/numerical-integration-trapezoid): Berechnet ∫ₐᵇ f(x)dx mit der zusammengesetzten Trapezregel: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), mit Knotentabelle, Integral-Schätzung und optionalem Vergleich mit exaktem Wert und absolutem Fehler; Fehler O(h²) (exakt für lineare Funktionen). Beispiel: ∫₀¹x²dx mit n=4 ergibt 0,34375 gegenüber exakt 1/3, Fehler 0,010417. - [Numerischer Löser Runge-Kutta 4. Ordnung (RK4)](https://elysiatools.com/de/tools/runge-kutta-rk4-solver): Löst dy/dx = f(x,y), y(x₀)=y₀ mit dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung: pro Schritt werden vier Steigungen k1–k4 berechnet und y_{n+1} = y_n + h/6·(k1+2k2+2k3+k4) aktualisiert; globaler Fehler O(h⁴) — halbiertes h teilt den Fehler ungefähr durch 16. Liefert die Schrittabelle, die k1–k4-Werte der ersten Schritte und die Endschätzung; die optionale exakte Lösung y(x) ergibt eine Fehlerspalte. Beispiel: dy/dx = y, y(0)=1, h=0,1 → y(1) ≈ 2,718282, fast exakt e. - [Reihenkonvergenz-Tester (Quotienten-/Wurzel-/Integral-/Vergleichskriterium)](https://elysiatools.com/de/tools/series-convergence-tester): Untersucht die Konvergenz der Reihe Σ aₙ (aₙ als Ausdruck von n): nacheinander werden das Notwendigkeitskriterium (aₙ → 0?), das Quotientenkriterium L = |aₙ₊₁/aₙ|, das Wurzelkriterium ρ = |aₙ|^(1/n), der Vergleich mit p-Reihen (p = −ln|a(N)|/ln N) und das Integralkriterium (numerisches Simpson + Dekaden-Wachstumsvergleich) angewendet; alternierende Reihen werden automatisch erkannt und per Leibniz-Kriterium klassifiziert, und für konvergente Reihen wird die Summe geschätzt (Partialsumme + geometrischer oder potenzgesetzlicher Rest). Klassiker: Σ1/n² konvergiert (p≈2, Summe≈1.6449); Σ1/n divergiert (harmonisch); Σ0.5ⁿ konvergiert; Σcos(πn)/n konvergiert bedingt (Summe≈−ln2). - [Short-Link + UTM + QR Bündel-Builder](https://elysiatools.com/de/tools/short-url-utm-builder-qr-bundle): Ein Durchlauf ersetzt das Trio bit.ly + Campaign Builder + QR-Generator: Ziel-URL und UTM-Parameter rein (GA4-Pflichttrio geprüft, optional Kleinschreibung), vollständige Trackings-URL raus; ein deterministischer Base62-Slug (FNV-1a-Hash, gleicher Input → gleicher Slug, ohne Konto und Netz) auf deiner Short-Domain; zwei QR-PNGs (Kurz- und Voll-Link); dazu nginx-/vercel.json-/Netlify-Redirect-Snippets und die CSV-Zeile fürs Kampagnen-Tracking. - [Schiefe-Analysator](https://elysiatools.com/de/tools/skewness-analyzer): Datenschiefe analysieren, um die Asymmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu messen und Datenmuster zu identifizieren - [Quadratwurzelrechner](https://elysiatools.com/de/tools/square-root-calculator): Berechnet Quadratwurzeln, prueft auf Quadratzahlen und verifiziert das Ergebnis durch Rueckquadratur ## Beispiele - [Web Python Bildverarbeitung Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/web-image-processing-python): Web Python Bildverarbeitungsbeispiele mit PIL/Pillow einschließlich Lesen, Speichern, Skalieren und Formatkonvertierung - [Umgebungsvariablen (.env) Beispiele](https://elysiatools.com/de/samples/env-samples): Konfigurationsbeispiele für Umgebungsvariablen für verschiedene Anwendungstypen und Umgebungen - [Android Java Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-java): Android Java Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung - [Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele](https://elysiatools.com/de/samples/android-image-processing-kotlin): Android Kotlin Bildverarbeitungsbeispiele einschließlich Lesen/Schreiben, Skalierung und Formatkonvertierung ## Verwandte Inhalte - [Tools fur Audio-Encoding und Formatkonvertierung](https://elysiatools.com/de/hubs/audio-convert): Vergleiche Audioformat-Konvertierung, Bitratenanderungen, Abtastraten-Konvertierung, Codec-Wechsel und Export-Tools in einem Hub. - [Tools fur Bildformat-Konvertierung und animierten Export](https://elysiatools.com/de/hubs/image-convert): Vergleiche Bildkonverter fur JPG, PNG, GIF, AVIF, WebP, TIFF, ICO, base64 und animationsgeeignete Exporte in einem Hub. - [Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung](https://elysiatools.com/de/hubs/json-convert): Vergleiche JSON-Konvertierungswerkzeuge fur CSV, YAML, TOML, GraphQL, XML, Markdown, Excel, BSON, EDN und ahnliche strukturierte Formate in einem Hub. - [Farbraum-Konvertierung fur Web und Druck](https://elysiatools.com/de/hubs/design-convert): Gebundelte Werkzeuge fur Farbraum-Konvertierung zwischen Web und Druck in einem Hub.