# Faltungsintegral-Rechner (numerisch)

Berechnet numerisch die Faltung zweier Signale (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ: Kausalmodus (beide Signale null für t<0, Integral über [max(τmin,0), min(τmax,t)] — passend zu Laplace-Bereichsprodukten) und direkter Fenstermodus (Integral über das gesamte [τmin, τmax] — passend zu beidseitigen Signalen wie Gaußkurven), mittels zusammengesetzter Simpson-Regel (standardmäßig 2000 Intervalle). Klassiker: e^(−t)*e^(−2t) = e^(−t)−e^(−2t), bei t=1 gleich 0.2325; zwei Gaußkurven falten sich zu √(π/2)·e^(−t²/2).

> Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/convolution-integral-calculator

- **Kategorie:** Math & Numbers

- **Schlagwörter:** faltung, faltungsintegral, signalverarbeitung, lti-systeme, impulsantwort, simpson-regel, numerische integration, laplace-produkt, gauß-faltung, analysis

## Überblick

Der Faltungsintegral-Rechner berechnet das kontinuierliche Faltungsintegral (f*g)(t) = ∫ f(τ)g(t−τ)dτ zweier mathematischer Funktionen numerisch mittels der zusammengesetzten Simpson-Regel. Das Werkzeug unterstützt sowohl kausale Signale mit dynamischen Integrationsgrenzen als auch beidseitige Funktionen über ein definiertes Integrationsfenster an bis zu acht Auswertezeitpunkten.

## Eingaben

- **f(τ)-Ausdruck (Variable x)** (text): First signal, written in the variable x. Supports + - * / ^, parentheses, and functions like exp, sin, cos, sqrt, ln.
- **g(τ)-Ausdruck (Variable x)** (text): Second signal, written in the variable x (it is evaluated at t − τ inside the integral).
- **Modus** (select)
- **Fensteranfang τmin** (number): Lower integration bound.
- **Fensterende τmax** (number): Upper integration bound.
- **Ausgabe-t-Werte (durch Komma getrennt)** (text): 1–8 evaluation points t at which (f*g)(t) is reported.
- **Simpson-Intervalle** (number): Number of Simpson subintervals per integral (even, 100–20000).
- **Dezimalstellen** (number)

## Wann verwenden

- Wenn die Systemantwort eines kontinuierlichen LTI-Systems aus Eingangssignal und Impulsantwort numerisch ausgewertet werden soll.
- Wenn symbolische Faltungsintegrale analytisch schwer lösbar sind und präzise numerische Näherungen benötigt werden.
- Wenn theoretische Faltungsergebnisse für kausale Exponentialsignale oder Gauß-Impulse an diskreten Zeitschritten überprüft werden müssen.

## Funktionsweise

- Geben Sie die mathematischen Funktionen f(x) und g(x) ein und wählen Sie zwischen dem Kausalmodus (Signale null für t < 0) und dem direkten Fenstermodus.
- Legen Sie die Integrationsgrenzen τmin und τmax sowie die gewünschten Auswertezeitpunkte t fest.
- Bestimmen Sie die Anzahl der Simpson-Teilintervalle (100 bis 20000) und die gewünschte Nachkommastellengenauigkeit.
- Der Rechner substituiert g(t−τ), integriert das Produkt über die angepassten Grenzen und gibt die Funktionswerte für jeden Zeitpunkt t aus.

## Anwendungsfälle

- Berechnung der Sprung- oder Impulsantwort in der Signalverarbeitung und Regelungstechnik.
- Numerische Verifikation von Faltungssätzen und Laplace-Transformationspaaren in der Hochschullehre.
- Faltung von Gauß-Verteilungen und Glättungskernen in der mathematischen Datenanalyse.

## Häufig gestellte Fragen

### Welche Variable muss in den Funktionstermen verwendet werden?

Verwenden Sie in den Eingabefeldern für f(x) und g(x) immer die Variable x, welche intern als Integrationsvariable τ bzw. als Argument (t−τ) ausgewertet wird.

### Was ist der Unterschied zwischen Kausalmodus und direktem Fenstermodus?

Der Kausalmodus beschränkt die Integration auf [max(τmin, 0), min(τmax, t)] für t ≥ 0, während der Fenstermodus stets über das gesamte Intervall [τmin, τmax] integriert.

### Welche mathematischen Funktionen werden unterstützt?

Unterstützt werden Standardoperatoren (+, -, *, /, ^) sowie Funktionen wie exp, sin, cos, sqrt und ln.

### Wie viele Zeitpunkte t können gleichzeitig berechnet werden?

Sie können 1 bis 8 durch Kommas getrennte t-Werte angeben, die in einem Durchlauf berechnet werden.

### Wie beeinflusst die Anzahl der Simpson-Intervalle das Ergebnis?

Eine höhere gerade Anzahl an Intervallen (bis zu 20000) steigert die numerische Präzision, erfordert jedoch geringfügig mehr Rechenaufwand.

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