# Chinesischer Restsatz (Kongruenzsystem)

Löst das System x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 Kongruenzen) mit dem verallgemeinerten chinesischen Restsatz durch paarweise Verschmelzung: Bei paarweise teilerfremden Moduln ist der kombinierte Modul das Produkt, bei nicht teilerfremden, aber verträglichen das kgV; ein unverträgliches System wird klar als unlösbar gemeldet. Jede Kongruenz wird gegen die Endlösung verifiziert. Klassiker: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

> Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/chinese-remainder-theorem

- **Kategorie:** Math & Numbers

- **Schlagwörter:** chinesischer restsatz, kongruenzsystem, simultane kongruenzen, modulararithmetik, kgv, zahlentheorie

## Überblick

Dieser Online-Rechner löst simultane Kongruenzsysteme der Form x ≡ rᵢ (mod mᵢ) für 2 bis 20 Gleichungen mithilfe des verallgemeinerten chinesischen Restsatzes. Das Werkzeug unterstützt sowohl paarweise teilerfremde Moduln als auch nicht-teilerfremde, verträgliche Systeme über das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), erkennt unverträgliche Kongruenzen zuverlässig und validiert das Endergebnis automatisch gegen alle eingegebenen Bedingungen.

## Eingaben

- **Reste r (eine pro Gleichung)** (text): Comma- or space-separated remainders, one per congruence; negative values are reduced mod m.
- **Moduli m (einer pro Gleichung)** (text): Comma- or space-separated moduli (each m ≥ 2), matching the remainders count.

## Wann verwenden

- Wenn lineare Kongruenzsysteme mit teilerfremden oder nicht-teilerfremden Moduln gelöst werden müssen.
- Zur Überprüfung von mathematischen Übungsaufgaben und Beweisen in der Zahlentheorie oder Kryptographie.
- Um schnell festzustellen, ob ein System simultaner modularer Gleichungen verträglich ist oder keinen gemeinsamen Lösungsraum besitzt.

## Funktionsweise

- Geben Sie die Reste (r) und Moduln (m) als kommagetrennte oder leerzeichengetrennte Wertefolgen mit gleicher Anzahl ein.
- Das System prüft die Moduln auf Teilerfremdheit und wendet bei Bedarf die paarweise Verschmelzung über den euklidischen Algorithmus an.
- Bei verträglichen Gleichungen wird der kombinierte Modul (Produkt oder kgV) und die minimale ganzzahlige Lösung im Intervall 0 ≤ x < M berechnet.
- Jede ursprüngliche Kongruenz wird durch modulare Substitution gegen das Gesamtergebnis verifiziert und mit Einzelschritten ausgegeben.

## Anwendungsfälle

- Lösung klassischer mathematischer Rätsel und Aufgabenstellungen aus der modularen Arithmetik.
- Berechnung von Schlüsselparametern und Rekonstruktionsschritten in kryptographischen Verfahren wie RSA.
- Synchronisation periodischer Zyklen und Zeitintervalle mit unterschiedlichen Umlaufzeiten in der Informatik.

## Häufig gestellte Fragen

### Was passiert, wenn die eingegebenen Moduln nicht teilerfremd sind?

Der Rechner verwendet die verallgemeinerte CRT-Methode über das kgV; teilt der ggT zweier Moduln die Differenz der Reste, existiert eine eindeutige Lösung modulo kgV.

### Wie werden unverträgliche Systeme behandelt?

Wenn der größte gemeinsame Teiler zweier Moduln deren Restdifferenz nicht teilt, bricht die Berechnung ab und meldet das System als unlösbar.

### Können negative Reste eingegeben werden?

Ja, negative Reste werden vor der Berechnung automatisch in ihre äquivalenten positiven Restklassen modulo m umgerechnet.

### Wie viele Kongruenzen können gleichzeitig gelöst werden?

Das Tool verarbeitet Systeme mit mindestens 2 und bis zu 20 simultanen Gleichungen.

### Müssen die Moduln bestimmte Minimalwerte erfüllen?

Jeder eingegebene Modul m muss eine ganze Zahl größer oder gleich 2 sein.

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