# Carmichael-Funktion-λ(n)-Rechner

Berechnet die Carmichael-Funktion λ(n) — den Exponenten der multiplikativen Gruppe (Z/nZ)*, also das kleinste k mit a^k ≡ 1 (mod n) für jedes zu n teilerfremde a. Aufgebaut aus der Primfaktorzerlegung (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) für k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) bei ungeraden Potenzen, dann kgV), zusammen mit φ(n), der Existenz einer Primitivwurzel und dem Korselt-Kriterium zur Erkennung von Carmichael-Zahlen. Klassiker: λ(561) = 80 (561 ist die kleinste Carmichael-Zahl) und λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

> Kanonische Seite: https://elysiatools.com/de/tools/carmichael-function

- **Kategorie:** Math & Numbers

- **Schlagwörter:** carmichael-funktion, gruppenexponent, multiplikative gruppe, carmichael-zahl, korselt-kriterium, primitivwurzel, zahlentheorie

## Überblick

Der Carmichael-Funktion-λ(n)-Rechner ermittelt den universellen Exponenten der multiplikativen Gruppe modulo n für ganze Zahlen bis 10¹². Das Werkzeug zerlegt die Eingabezahl in ihre Primfaktoren, berechnet die Teil-Exponenten nach den Regeln für Zweierpotenzen und ungerade Primzahlpotenzen, bildet das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und vergleicht das Ergebnis direkt mit Eulers Phi-Funktion φ(n), einschließlich Prüfung auf Primitivwurzeln und Carmichael-Zahlen.

## Eingaben

- **Zahl n** (text): Positive integer, 1 ≤ n ≤ 10¹² (trial-division factorization bound).
- **Detailgrad** (select)

## Wann verwenden

- Wenn Sie den kleinsten universellen Exponenten λ(n) für modulare Potenzen in kryptografischen Algorithmen wie RSA bestimmen müssen.
- Wenn Sie prüfen möchten, ob eine zusammengesetzte Zahl das Korselt-Kriterium erfüllt und somit eine Carmichael-Zahl ist.
- Wenn Sie analysieren wollen, ob eine multiplikative Gruppe modulo n zyklisch ist und eine Primitivwurzel besitzt (λ(n) = φ(n)).

## Funktionsweise

- Geben Sie eine positive ganze Zahl n im Bereich von 1 bis 10¹² ein.
- Wählen Sie den Detailgrad zwischen der reinen Berechnung mit Primfaktorzerlegung oder einer erweiterten Verifikation mit modularen Beispiel-Kongruenzen.
- Das Werkzeug faktorisiert n, bestimmt λ für jede Primfaktorpotenz (unter Beachtung von λ(2^k) = 2^(k−2) für k ≥ 3) und berechnet das kgV aller Komponenten.
- Sie erhalten das Resultat für λ(n), den Vergleichswert φ(n), die Aussage über die Existenz von Primitivwurzeln sowie den Status nach dem Korselt-Kriterium.

## Anwendungsfälle

- Optimierung von RSA-Schlüsseln durch Verwendung des minimalen privaten Entschlüsselungsexponenten d ≡ e⁻¹ (mod λ(n)) anstelle von φ(n).
- Überprüfung von Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen im Rahmen von Zahlentheorie-Vorlesungen und mathematischen Beweisen.
- Strukturanalyse der multiplikativen Restklassengruppe (Z/nZ)* zur Bestimmung von Gruppenordnung, Exponent und Zyklizität.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist der Unterschied zwischen der Carmichael-Funktion λ(n) und Eulers φ(n)?

φ(n) gibt die Anzahl der zu n teilerfremden Reste an, während λ(n) der kleinste Exponent ist, für den a^λ(n) ≡ 1 (mod n) für alle teilerfremden a gilt; λ(n) teilt stets φ(n).

### Wann besitzt eine Zahl n eine Primitivwurzel?

Eine Zahl n besitzt genau dann eine Primitivwurzel, wenn λ(n) = φ(n) gilt, was nur für n = 1, 2, 4, p^k und 2p^k (mit ungerader Primzahl p) der Fall ist.

### Wie wird λ(n) für Potenzen von 2 berechnet?

Es gilt λ(2) = 1, λ(4) = 2 und für k ≥ 3 gilt λ(2^k) = 2^(k−2), während für ungerade Primzahlpotenzen λ(p^k) = φ(p^k) = p^(k−1)(p−1) verwendet wird.

### Was besagt das Korselt-Kriterium für Carmichael-Zahlen?

Eine zusammengesetzte Zahl n ist eine Carmichael-Zahl, wenn sie quadratfrei ist und für jeden Primteiler p gilt, dass (p − 1) die Zahl (n − 1) teilt, was äquivalent zu λ(n) | (n − 1) ist.

### Welche Obergrenze gilt für die Eingabe im Rechner?

Der Rechner unterstützt positive ganze Zahlen bis n = 10¹², da die Primfaktorzerlegung mittels Probedivision für diesen Zahlenbereich optimiert ist.

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